Bài 6 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho phương trình

\({x^2} + {y^2} + mx - 2(m + 1)y + 1 = 0.\,\,\,\,\,(1)\)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(2a = m\,,\,2b =  - 2(m + 1)\,,\,\,c = 1\)

\(\Rightarrow \,\,a = {m \over 2}\,,\,\,b =  - (m + 1)\,,\,\,c = 1\)

(1) là đường tròn \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{{{m^2}} \over 4} + {(m + 1)^2} - 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow \,\,{5 \over 4}{m^2} + 2m > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5}\, \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\) 

b) Với điều kiện \(m <  - {8 \over 5}\) hoặc m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( { - {m \over 2}\,;\,m + 1} \right)\) .

Ta có tọa độ của I 

\(\left\{ \matrix{
x = - {m \over 2} \hfill \cr
y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)

Khử m từ hoành độ và tung độ của I ta được \(2x + y - 1 = 0\) vì  \(m <  - {8 \over 5}\) hoặc m > 0 nên \(x =  - {m \over 2} > {4 \over 5}\) hoặc \(x < 0\) .

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là 

\(\left\{ \matrix{
2x + y - 1 = 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < 0 \hfill \cr
x > {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\, \hfill \cr} \right.\)