Bài 1 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Có \(1 kg\) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã).

Gọi \((u_n)\) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \(n\).

a) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).

b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\).

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\).

Hướng dẫn giải

a) Tính \(u_1;u_2;u_3;...\), từ quy luật đó dự đoán công thức của \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

b) Tính lim\({u_n}\).

c) Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu \({u_n} < {10^{ - 6}};\) tìm n.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(u_1=\frac{1}{2}\); \(u_2= \frac{1}{4}\); \(u_3=\frac{1}{8}\); ... .

Từ đó ta dự đoán công thức \(u_n=\frac{1}{2^{n}}\) \(\forall n \ge 1\).

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

Hiển nhiên công thức trên đúng với \(n=1\).

Giả sử công thức đúng với mọi \(k \ge 1\), tức là có \(u_k=\frac {1} {2^k}\), ta chứng minh công thức đó đúng với mọi \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(u_{k+1}=\frac {1} {2^{k+1}}\).

Ta có \({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k}}}{2} = \frac{1}{{{2^k}}}:2 = \frac{1}{{{2^k}}}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\).

Vậy \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\,\,\forall n \in {N^*}\).

b) \(\lim {u_n} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\).

c) Đổi \(10^{-6}g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}}kg = \frac{1}{10^{9}} kg\).

Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} < \frac{1}{{{{10}^9}}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n \ge 30\).

Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.