Bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =  \frac{1}{x}\):

a) Tại điểm \((  \frac{1}{2} ; 2)\)

b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

a, b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3\).

Giải phương trình tìm \(x_0\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

Lời giải chi tiết

Xét giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \frac{1}{{x_0^2}}\\
\Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - \frac{1}{{x_0^2}}
\end{array}\)

a) Ta có: \(y'  \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((\frac{1}{2} ; 2)\) là \(y =  - 4\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + 2 =  - 4x + 4\)

b) Ta có: \(y' (-1) = -1, y(-1)=-1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là: \(y =  - \left( {x + 1} \right) - 1 =  - x - 2\).

c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có

\(y' (x_0) = -  \frac{1}{4} \Leftrightarrow -  \frac{1}{x_{0}^{2}} = -  \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2\).

Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) =  \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - \frac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \frac{1}{2} =  - \frac{1}{4}x + 1\).

Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - \frac{1}{4}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{4}x - 1\).