Bài 3 trang 121 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh \(SA\) bằng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng \((α)\) đi qua \(A\) và vuông góc với cạnh \(SC\) lần lượt cắt \(SB, SC\) và \(SD\) tại \(B’, C’\) và \(D’\). Chứng minh \(B’D’\) song song với \(BD\) và \(AB’\) vuông góc với \(SB\).

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b) Chứng minh \(AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SB\)

Chứng minh hai đường thẳng \(BD\) và \(B'D'\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\)

Lời giải chi tiết

a) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB;\,\,SA \bot AD\)\( \Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SAD\) là các tam giác vuông tại \(A\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

Tương tự:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\)\( \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(D\).

b) Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB' \bot BC.\)

Mà \(AB' \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow AB' \bot SC \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \)\(\Rightarrow AB' \bot SB\).

Chứng minh tương tự ta có \(AD' \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AD' \bot SD\).

Ta chứng minh được \(\Delta SAB = \Delta SAD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB' = AD'\) (hai đường cao xuất phát từ 2 đỉnh tương ứng).

Do đó A thuộc trung trực của \(B'D'\) (1).

Ta cũng có: \(SB’=SD’\);

\(ΔBSC = Δ DSC\)  \(⇒ \widehat{ BSC} = \widehat{ CSD}\)

Do đó \(ΔB'SC' = Δ D'SC' \,\,(c.g.c)\Rightarrow C’D’ = C’B’\).

Do đó \(C'\) thuộc trung trực của \(B'D'\).

Từ (1) và (2) suy ra \(AC’\) là đường trung trực của \(D’B’\) do đó \(D’B’⊥ AC’\)   (3)

Mặt khác: \(SC⊥(α)\); \(D’B’⊂ (α)\) \( ⇒ SC⊥D’B’\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(D’B’⊥(SAC)\)            (5)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 6 \right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow D’B’//DB\).