Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 47. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {n^2} + n + 1\)

c.  Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {3.8^n}\)

d. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 8\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {8n + 3} \right) = 8,\forall n \ge 1\)

Suy ra (u_n) là cấp số cộng với công sai \(d = 8\)

b. Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 1 - {n^2} - n - 1 = 2\left( {n + 1} \right)\) không là hằng số

Vậy (u­_n) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.

c.\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\) Do đó (u_n) là cấp số nhân với công bội \(q = 8\).

d.\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} - \left( {n + 2} \right){3^n} = {3^n}\left( {3n + 9 - n - 2} \right) = \left( {2n + 7} \right){3^n}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}} \over {\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\) không là hằng số nên (u_n) không là cấp số nhân.