Trang chủ Lớp 11 Toán Lớp 11 SGK Cũ Bài 5. Giới hạn một bên Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}\)

c.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}\)

d.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \)

Hướng dẫn giải

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left( {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}}} = 1\)

b.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} =\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}= 2 \cr} \)

c.  \({x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0\)

Với mọi \(x ≤ -1\),  \(x \ne - {3 \over 2}\)

\({{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} = {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}= {1 \over 2}\)

d.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} = 0 \cr} \)

Copyright © 2021 HOCTAP247