Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)

b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x₀ϵ (-1 ; 1), ta có :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\) , ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng  \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)