Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

a. Tính \(\sin {\pi  \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi  \over 8}\)

b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

\(\sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x = C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}{\pi  \over 8} = {{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }   \cr  & {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {1^2} + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,:  \cr  & \sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x  \cr  &  = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi  \over 8} + \sin {\pi  \over 8}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi  \over 8}} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)  \cr  & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  = \cos {\pi  \over 8}.  \cr  & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 }  \cr} \)