Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. \({\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\)

b. \({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\)

c. \(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\)

Giải:

a. Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi } \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{  & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {t = 1}  \cr   {t = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x = 1}  \cr   {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi  \cr} \)

b. Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \)

\(\eqalign{  & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x  =  - 1}  \cr   {1 - \cos x = 1 - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x =  - 1}  \cr   {\tan x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x =  \pi  + k2\pi }  \cr   {x = {\pi  \over 4} + k\pi }  \cr  }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \)

c. Điều kiện \(\cos x \ne 0,\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {\cos x \ne 0}  \cr   {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  \ne  \pm {1 \over {\sqrt 2 }}}  \cr  } } \right.\)

\(\eqalign{  & {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin 3x = sin3xcos2x \Leftrightarrow sin3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\sin x = 0}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi  \over 3},k \in\mathbb  Z \cr} \)