Câu 10 trang 96 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại có đúng không ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}   \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0 \Leftrightarrow AC \bot BD \cr} \)

Tương tự :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow AD \bot BC  \cr  & \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow AB \bot CD \cr} \)

Như vậy, điều ngược lại cũng đúng.