Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

a. Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.

b. Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

a. Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow a  + l.\overrightarrow b \)

suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow n  = k\overrightarrow a .\overrightarrow n  + l\overrightarrow b .\overrightarrow n  = 0 \Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  = \overrightarrow 0 \) (vô lí)

vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng

b. Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)

Tức là \(\overrightarrow a .\overrightarrow n  = \overrightarrow b .\overrightarrow n  = \overrightarrow c .\overrightarrow n  = 0\)

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu \(\overrightarrow a  \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)

Khi đó \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b  + z\overrightarrow n .\) Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow n  = x\overrightarrow a .\overrightarrow n  + y\overrightarrow b .\overrightarrow n  + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b .\)

Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ đồng phẳng tức là ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ cùng song song với một mặt phẳng.