Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính AB, IJ theo a và x.

b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Hướng dẫn giải

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.

Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)

Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\,hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)

Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)

Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB.

Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD \Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}  = {1 \over 2}.2x\)

\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)