Bài 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)

Hướng dẫn giải

+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x_i (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)

Lời giải chi tiết

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x\le 2.\)

Tập xác định: \(D=\left[ 0;\ 2 \right].\)

Có  \(y'=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall \ x\in \left( 0;\ 2 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.\)

\(f\left( 0 \right)=0;\ f\left( 1 \right)=1;\ \ f\left( 2 \right)=0.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)