Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \(Ox\):

a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\) ;

b) \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\) ;

c) \(y = tanx, y = 0, x = 0\), \(x=\frac{\pi }{4}\) ;

Hướng dẫn giải

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right) \, \) và hai đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức:  \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:  \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là :

\(V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx\)

     \(=2\pi \left (\frac{x^{5}}{5}- \frac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}=2\pi\left ( \frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1 \right )=\frac{16\pi}{15}.\)

b) Thể tích cần tìm là:

\(V= \pi \int_{0}^{\pi }cos^{2}xdx =\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+cos2x)dx\)

     \(=\frac{\pi }{2}\left (x+\frac{1}{2}sin2x \right )|_{0}^{\pi }=\frac{\pi }{2}.\pi =\frac{\pi ^{2}}{2}\)

c) Thể tích cần tìm là:

\(V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^{2}xdx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\frac{1}{cos^{2}x}-1 \right )dx\)

     \(=\pi \left (tanx-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\frac{\pi }{4})\)

     \(=\frac{\pi(4-\pi)}{4}\).