Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \)
và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\)
Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).
a) Tính thể tích của theo \(α\) và \(R\).
b) Tìm \(α\) sao cho thể tích là lớn nhất.
a) Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành.
+) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay cần tính.
b) Tính được thể tích của khối tròn xoay theo \(\alpha.\) Khảo sát hàm số \(V=V(\alpha)\) để tìm thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)
b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\)
Đặt \( t = \cos \alpha .\)
Với \(\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right].\)
Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)
Có: \(V'\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy thể tích khối lớn nhất khi \(\alpha = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Copyright © 2021 HOCTAP247