Bài 10 trang 40 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Cho hình trụ có bán kính \(r\) và có chiều cao cũng bằng \(r\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh \(BC\) và \(AD\) không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Hướng dẫn giải

+) Dựa vào định lí Pitago tính độ dài IB, từ đó suy ra độ dài đường chéo AC và BD của hình vuông.

+) Tính độ dài cạnh của hình vuông và diện tích hình vuông đó.

+) Xác đinh góc giữa hai mặt phẳng: Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh góc giữa \((ABCD)\) và mặt đáy bằng góc \(IEO\).

Lời giải chi tiết

Do tính chất đối xứng của \((ABCD)\) nên \((ABCD)\) cắt \(OO'\) tại trung điểm \(I\) của \(OO'\). \(I\) cũng là giao điểm của hai đường chéo \(AC,BD\).

Xét tam giác vuông \(IOB\) ta có: \(IB^2=IO^2+OB^2\)

\(\Rightarrow IB=\sqrt {{{\left( {{r \over 2}} \right)}^2} + {r^2}}  = {{r\sqrt 5 } \over 2}\)

\(\Rightarrow AC=BD=2IB=r\sqrt5\).

Do ABCD là hinh vuông nên \(AB= \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}={{r\sqrt {10} } \over 2}\)

Vậy \(S_{ABCD}={AB}^2={{5{r^2}} \over 2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) 

\(\Rightarrow OE\bot AB, IE\bot AB\).

\(\Rightarrow \widehat {IEO}\) là góc giữa \((ABCD)\)  và mặt đáy của hình trụ.

Ta có: \(IE = \frac{1}{2}AD ={{r\sqrt {10} } \over 4}, OI={r\over 2}\).

Xét tam giác vuông IOE có: \(OE = \sqrt {I{E^2} - O{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{r\sqrt {10} }}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{r\sqrt 6 }}{4}\).

\(cos\widehat {IEO}={{OE}\over {IE}}={\sqrt{15}\over5}\)