Bài 7 trang 39 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt3\).

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ.

Hướng dẫn giải

a) \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,{S_{tp}} = 2\pi rh + \pi {r^2}\) với \(r;h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

b) \(V = \pi {r^2}h\).

c) +) Giả sử trục của hình trụ là \(O_1O_2\) và \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O_1\), \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O_2\). Kẻ \(BB_1\) // \({O_1}{O_2}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right)} = \widehat {\left( {AB;B{B_1}} \right)} = \widehat {AB{B_1}}\).

+) Xác định khoảng cách giữa AB và \({O_1}{O_2}\) bằng cách xác định đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Theo công thức ta có:

\(S_{xq} = 2πrh = 2\sqrt3 πr^2\) 

\(S_{tp} = 2πrh + 2πr^2 =  2\sqrt3 πr^2 + 2 πr^2 \)

\(= 2(\sqrt3 + 1)πr^2\)  ( đơn vị thể tích)

b) \(V\)trụ = \(πR^2h = \sqrt3 π r^3\)

c) Giả sử trục của hình trụ là \(O_1O_2\) và \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O_1\), \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O_2\); \(I\) là trung điểm của \(O_1O_2\) , \(J\) là trung điểm của \(AB\).

Ta chứng minh \(IJ\) là đường vuông góc chung của \(O_1O_2\)  và \(AB\).

Hạ \(BB_1\) vuông góc với đáy, \(J_1\) là hình chiếu vuông góc của \(J\) xuống đáy.

Dễ thấy \(J_1\) là trung điểm của \(AB_1\) (định lí đường trung bình của tam giác).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{O_1}{J_1} \bot A{B_1}\\{O_1}{J_1} \bot B{B_1}\end{array} \right. \Rightarrow {O_1}{J_1} \bot \left( {AB{B_1}} \right)\).

Mà \(IJ//{O_1}{J_1} \Rightarrow IJ \bot \left( {AB{B_1}} \right)\) \( \Rightarrow IJ \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}IJ//{O_1}{J_1}\\{O_1}{O_2} \bot {O_1}{J_1}\end{array} \right. \Rightarrow IJ \bot {O_1}{O_2}\).

Vậy IJ là đường vuông góc chung của \(O_1O_2\)  và \(AB\) \( \Rightarrow d\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right) = IJ\)

Ta có: \(BB_1\) // \({O_1}{O_2}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right)} = \widehat {\left( {AB;B{B_1}} \right)} = \widehat {AB{B_1}}\).

do vậy: \(AB_1 = BB_1.tan 30^0\) = \( \frac{\sqrt{3}}{3}h = r\).

Xét tam giác vuông \(O_1J_1A\) vuông tại \(J_1\) ta có: 

\( O_{1}J^{2}_{1}\) = \( O_{1}A^{2}\) - \( AJ^{2}_{1} =\) \( r^{2} - {\left( {{r \over 2}} \right)^2}=\) \( \frac{3}{4}r^{2}\) \( \Rightarrow {O_1}{J_1} = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(O_1O_2\) là: \( \frac{\sqrt{3}}{2}r\).