Bài 5 trang 90 SGK Hình học 12

Đề bài

Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y - z - 2 = 0\) ;

b) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z+1 = 0\) ;

c) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z - 4 = 0\).

Hướng dẫn giải

Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\).

Gọi \(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow M \in d \Rightarrow M\left( {{x_0} + at;\,{y_0} + bt;{z_0} + ct} \right)\). Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P), tìm ẩn t, sau đó suy ra tọa độ điểm \(M\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M = d \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow M \in d \Rightarrow M\left( {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right)\). Vì \(M \in \left( \alpha \right) \) nên ta có: 

\(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) -2 = 0\)

\( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\).

Vậy \(d  ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\).

b) Gọi \(M = d \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow M \in d \Rightarrow M\left( {1 + t;2 - t;1 + 2t} \right)\). Vì \(M \in \left( \alpha \right) \) nên ta có: 

\((1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0\)

\(⇔  0.t +9= 0\), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ \(d\) và \((α)\) không cắt nhau hay d // \((α)\).

c) Gọi \(M = d \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow M \in d \Rightarrow M\left( {1 + t;1 + 2t;2 - 3t} \right)\). Vì \(M \in \left( \alpha \right) \) nên ta có: 

\((1 + t) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0\)

\(⇔  0t + 0 = 0\)

Phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ \(d ⊂ (α)\) .