Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).

a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).

Hướng dẫn giải

a) Tham số hóa tọa độ điểm A theo tham số \(t\), thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng \(\alpha\), tìm \(t\) và sauy ra tọa độ điểm \(A\).

b) Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A và nhận VTCP của đường thẳng \(d\) là VTPT. Viết phương trình mặt phẳng \(beta\) khi biết một điểm đi qua và VTPT.

Lời giải chi tiết

\(A \in d \Rightarrow A\left( {1 - 2t;2 + t;3 - t} \right)\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:

\(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}  \)

\(\Rightarrow A\left( { - \frac{5}{2};\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)

b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của \((β)\) là:

\( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)