Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).

a) Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.\)

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi đẳng thức vector trong câu a) theo những điểm cố định và suy ra vi trí của điểm G.

b) Sử dụng công thức ba điểm, chèn điểm G vào tất cả các vector \(\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} \), biến đổi và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {BC}
\end{array}\)

Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {BC} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {DC} \)

Vậy \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).

b) Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);

\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2} \)

\(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).

Từ đó \(MA^2 +2 MB^2 -2 MC^2 = k^2\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)

\(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\) 

(Vì \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)).

Do vậy:

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.