Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 75. Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr
x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,\,y(0)=2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thi cắt tung độ tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị cắt hoành độ tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right)\left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình 

\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x =  - 1;\,x = 1;\,x =  - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \)

* \( - \sqrt m  <  - 1 < 1 < \sqrt m \)

(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m  - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)

* \( - 1 <  - \sqrt m  < \sqrt m  < 1\)

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m  = \sqrt m  - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)

Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\)