Hình học 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Định lý 1: 

Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

Định lý 2:

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó

Định lý 3:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

 

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác ABC có BD, CE là các đường cao. CMR: B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn và ED

Hướng dẫn:

 

Ta có: các tam giác EBC và DBC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền BC nên đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này có tâm tại F (F là trung điểm BC) bán kính FB

suy ra: E,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

Trong đường tròn đường kính BC thì ED là dây nên ED

Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên CD. CM: CH=DK

Hướng dẫn:

Dựng OE vuông góc với CD (E thuộc CD) theo định lý 2 thì E là trung điểm CD.                             (1)

Xét hình thang ABKH có O là trung điểm AB và  \(OE\parallel AH\parallel BK\) nên E là trung điểm HK.     (2)

Từ (1) và (2) thì ta có CH=DK

Bài 3: Cho đường tròn (O;R) các dây cung AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC, AD. CMR: \(MN\leq 2R\)

Hướng dẫn:

Ta cso: hai tam giác AMB và ANB lần lượt vuông tại M, N có AB là đường kính nên A, M, N, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó MN là dây cung

\(\Rightarrow MN\leq AB\) mà do AB là dây cung của đường tròn (O;R) nên \(\Rightarrow MN\leq AB\leq 2R\)

 

2.2. Bài tập nâng cao

 

Bài 1: Cho (O;R) đường kính AB, H là trung điểm OB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tai H, K là trung điểm của AC và I là trung điểm đối xứng của A qua H

a) CMR: 4 điểm C, H, O, K cùng thuộc một đường tròn

b) CM ADIC là hình thoi. Tính diện tích theo R

Hướng dẫn:

a) Kẻ OK, vì K là trung điểm AC nên OK vuông góc AC khi đó 4 điểm K, O, H, C sẽ cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b) Xét tứ giác ADIC có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ADIC là hình bình hành.

Xét tam giác ADC có AH là đường cao vừa là trung tuyến ( OH vuông góc với CD thì đi qua trung điểm CD) nên Tam giác ACD cân tại A nên AC=AD

Khi đó ADIC là hình thoi.

\(S_{ADIC}=S_{\Delta ADC}+S_{\Delta DIC}=2.S_{\Delta ADC}=AH.CD\)

Mà \(AH=\frac{3R}{2}\) ; \(CD=2.CH=2.\sqrt{OC^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=R\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow S_{ADIC}=\frac{3R}{2}.R\sqrt{3}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}\)

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hanh

b) Chứng minh \(OM=\frac{1}{2}.AH\)

Hướng dẫn:

a) Tam giác ABD có OA=OB=OD với O là trung điểm AD nên ABD vuông tại B \(\Rightarrow BD\perp AB\Rightarrow BD\parallel CH\) 

tương tự cho tam giác ADC vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow BH\parallel CD\)

Tứ giác BHCD có các cặp cạnh đối song song nên BHCD là hình bình hành

b) ta có OM vuông góc BC nên M là trung điểm BC. Mà BHCD là hình bình hành nên đường chéo HD đi qua trung điểm BC là M

Xét tam giác AHD có O là trung điểm AD, M là trung điểm HD nên OM là đường trung bình tam giác AHD \(\Rightarrow OM=\frac{1}{2}.AH\)

 

Qua bài giảng Đường kính và dây của đường tròn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• So sánh độ dài của đường kính
• Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dâyc cung

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường tròn (O;R) và 2 dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA=2, IB=4. Khoảng cách từ tâm O tới AB là d và tới CD là d'

  Giá trị của d và d'

  • A. \(d=2;d'=1\)
  • B. \(d=d'=1\)
  • C. \(d=d'=2\)
  • D. \(d=1;d'=2\)

• Câu 2:

  Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB

  Biết AM=4, R=6,5. Giá trị diện tích tam giác BCD là bao nhiêu? 

  • A. 50
  • B. 52
  • C. 54
  • D. 56

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 10 trang 104 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 11 trang 104 SGK Toán 9 Tập 1

Bài tập 15 trang 158 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 16 trang 159 SBT Toán 9 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.