e) Ta có QI là đường trung bình của tam giác ABC nên QI//BC và $QI = \dfrac{1}{2} BC = MC$

Xét tứ giác QICM có QI//MC và QI = MC.

Vậy tứ giác QICM là hình bình hành.

Lại có QC giao MI tại D nên D là trung điểm CQ.

Lại có tứ giác AKIQ là hình bình hành nên QI giao QK tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra N là trung điểm QK.

Xét tam giác QKC có N, D là trung điểm QK và QC. Vậy ND//KC

Lại có tứ giác AKCM là hình chữ nhật nên $KC \perp BC$.

Vậy $ND \perp BC$. (Theo đly từ vuông góc đến //)

f) Ta có I là trung điểm AC, M là trung điểm AE nên EI, CM là các đường trung tuyến của tam giác AEC.

Lại có EI giao CM tại P nên P là trọng tâm tam giác ACE.

Do đó AP cũng là trung tuyến của tam giác ACE.

Vậy AP đi qua trung điểm của CE và $MP = \dfrac{1}{3} MC$.

Lại có $MC = \dfrac{1}{2} BC$ nên

$MP = \dfrac{1}{3} . MC = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} . BC = \dfrac{1}{6} BC$

Vậy $BC = 6 MP$.