Gợi ý chứng minh như sau :

a,

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AD . BC`

`S_{\triangle BHC}=1/2 . HD . BC`

`-> S_{\triangle BHC}/S_{\triangle ABC}=(HD)/(AD)`

Tương tự ta được :

`S_{\triangle AHC}/S_{\triangle ABC}=(HE)/(BE)`

`S_{\triangle AHB}/S_{\triangle ABC}=(HF)/(CF)`

Cộng theo vế

`-> S_{\triangle ABC}/S_{\triangle ABC}=(HD)/(AD)+(HE)/(BE) + (HF)/(CF)`

`-> (HD)/(AD)+(HE)/(BE)+(HF)/(CF)=1`

b,

`\triangle BDH` và `\triangle BEC` có : 

`hat{B_1}` chung và `hat{BDH}=hat{BEC}=90^o`

`->\triangle BDH` đồng dạng `\triangle BEC` 

`-> (BH)/(BD)=(BC)/(BE)`

`->BH . BE = BD . BC`

Chứng minh tương tự : `\triangle CDH` đồng dạng `\triangle CFB` 

`-> (CH)/(CD)=(CB)/(CF)`

`->CH . CF = BC . CD`

Cộng theo vế ta được :

`BE.BH +CH . CF = BC (CD+BD)=BC^2`

c, 

Khá dễ dàng chứng minh được :

`\triangle AEF` đồng dạng `\triangle ABC`

`->hat{AEF}=hat{ABC}` (1)

`\triangle CED` đồng đạng `\triangle CBA`

`->hat{CED}=hat{CBA}(2)`

`(1)(2)->hat{AEF}=hat{CED}`

Lại có : `hat{AEF}+hat{FEB}=90^o,hat{CED}+hat{DEB}=90^o`

`->hat{FEB}=hat{DEB}`

`-> EB` là phân giác `hat{DEF}`

Chứng minh tương tự :

`FC` là phân giác `hat{DFE}`

`DA` là phân giác `hat{FDE}`

`\triangle DEF` có : `EH,FH, DH` là các đường phân giác và giao nhau tại `H`

`->H` là giao của các đường phân giác

`->H` cách đều 3 cạnh của `\triangle DEF`

d,

Gọi `V` là giao của đường trung trực đoạn `FC` với `MN`

`-> HV=CV, MV=NV`

Do đó thì `\triangle VMH=\triangle VNC`

`-> hat{VHM}=hat{VCN}` (*)

`HV=CV ->\triangle HVC` cân tại `V`

`->hat{VHN}=hat{VCN}` (**)

(*)(**) `->hat{MHV}=hat{NHV}`

`->HV` là phân giác `hat{BHC}`

`-> V` cố định

`->` Đường trung trực của `MN` luôn đi qua 1 điểm cố định