$\text{a) Xét ΔAMB và ΔANC có:}$

         `\hat{AMB}=\hat{ANC}=90^{o}(BM⊥AC; CN⊥AB)`

          $\text{AB = AC (ΔABC cân tại A)}$

          `\hat{A}: chung`

$\text{⇒ ΔAMB = ΔANC (cạnh huyền - góc nhọn)}$

$\text{⇒ AM = AN (2 cạnh tương ứng)}$

$\text{b) ΔABC cân tại A}$ `⇒ \hat{ABC}=(180^{o}-\hat{BAC})/2 (1)`

$\text{AM = AN (cmt) ⇒ ΔAMN cân tại A}$

`⇒ \hat{ANM}=(180^{o}-\hat{NAM})/2 (2)`

$\text{Từ (1) và (2)}$ `⇒ \hat{ABC}=\hat{ANM}`

$\text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ MN // BC}$

$\text{c) Ta có: ΔAMB = ΔANC (cmt)}$

`⇒ \hat{ABM}=\hat{ACN}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{Lại có:}$ `\hat{ABC}=\hat{ACB}` $\text{(ΔABC cân tại A)}$

`⇒ \hat{ABC}-\hat{ABM}=\hat{ACB}-\hat{ACN}`

`⇒ \hat{IBC}=\hat{ICB}`

$\text{⇒ ΔIBC can tại I ⇒ IB = IC}$

$\text{Xét ΔAIB và ΔAIC có:}$

        `AB = AC (cmt)`

        `\hat{ABI}=\hat{ACI}(cmt)`

         `IB=IC(cmt)`

$\text{⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.g.c)}$

`⇒ \hat{BAI}=\hat{CAI}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

`hay: \hat{NAI}=\hat{MAI}`

$\text{⇒ AI là phân giác của}$ `\hat{NAM}`

$\text{d) Xét ΔABK và ΔACK có:}$

          `AB=AC(cmt)`

          `\hat{BAK}=\hat{CAK}(cmt)`

           `AK:chung`

`⇒ ΔABK = ΔACK (c.g.c)`

$\text{⇒ BK = CK (2 cạnh tương ứng)}$
$\text{⇒ K là trung điểm của BC}$