Giải thích các bước giải:

 a) Xét tứ giác AHBE có: M là trung điểm của AB 

                                       M là trung điểm của EH

=> Tứ giác AHBE là hbh

Mặt khác góc AHB=90

=> Tứ giác AHBE là hcn

b) Ta có tứ giác AHBE là hcn

=> AE//BH và AE=BH

Xét tam giác ABC cân tại A có: AH là đường cao

=> AH đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC

=> H là trung điểm của BC

=> HB=HC

=>HC=AE

Xét tứ giác AEHC có: AE//HC

                                   AE=HC

=> Tứ giác AEHC là hbh

c) Có tứ giác AEHC là hbh

=> O là trung điểm của EC và AH

Xét tam giác EHC có: M là trung điểm của EH

                                   O là trung điểm của EC

=> HO là đường trung bình trong tam giác EHC

=> HO//HC

Chứng minh tưong tự ta có ON//HC

=> M;O;N thẳng hàng

a) Xét tứ giác AHBE có M là trung điểm AB và M là trung điểm EH.

Do đó M là tâm đxung của tứ giác AHBE. Vậy tứ giác AHBE là hình bình hành.

Lại có $AH \perp BH$ nên tứ giác AHBE là hình chữ nhật. 

Suy ra AE = BH và AE//BH.

b) Do AH là đường cao của tam giác cân ABC nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm BC.

Vậy BH = CH.

Xét tứ giác AEHC có AE = BH = CH và AE//CH.

Vậy tứ giác AEHC là hình bình hành.

Lại có AH giao EC tại O, suy ra O là trung điểm AH.

c) Ta có O, N là trung điểm của AH, AC nên ON là đường trung bình của tam giác AHC. Do đó ON//HC.

Tương tự, ta có OM //BH.

Vậy ON//BC và OM//BC, do đó, theo Thales thì O, M, N phải cùng nằm trên 1 đường thẳng.

Vậy O, M, N thẳng hàng.