Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Tứ giác $MHBK$ có $H,K$ cùng nhìn $MB$ dưới một góc $90^\circ$

$\Rightarrow MHBK$ nội tiếp

Tứ giác $MHCI$ có $H,I$ cùng nhìn $MC$ dưới một góc $90^\circ$

$\Rightarrow MHCI$ nội tiếp

$b)MHBK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{B_1}$ (cùng chắn cung $MK$)

$\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung)

$\widehat{C_1}=\widehat{I_1}$ ($MHCI$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{I_1}$

Chứng minh tương tự: $\widehat{K_1}=\widehat{H_2}$

Xét $\Delta HMK$ và $\Delta IMH$

$\widehat{H_1}=\widehat{I_1}\\ \widehat{K_1}=\widehat{H_2}\\ \Rightarrow \Delta HMK \backsim \Delta IMH\\ \Rightarrow \dfrac{MH}{MI}=\dfrac{MK}{MH}\\ \Rightarrow MH^2=MI.MK\\ c)\widehat{QMP}+\widehat{QHP}\\ =\widehat{QMP}+\widehat{H_1}+\widehat{H_2}\\ =\widehat{QMP}+\widehat{C_1}+\widehat{B_2}\\ =180^\circ$

Mà $\widehat{QMP},\widehat{QHP}$ ở vị trí đối nhau

$\Rightarrow MQHP$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{H_1}$ (chắn cung $MP$)

$\widehat{H_1}= \widehat{C_1}$

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{C_1}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị so với $QP$ và $CB$

$\Rightarrow QP//CB$

Lại có $MH \perp CB$

$\Rightarrow MH \perp QP.$