a) Diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} . AB . AC = \dfrac{1}{2} . 3 . 4 = 6 (cm^2)$

Áp dụng Pytago ta có

$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Vậy $BC = 5 (cm)$

Do AM là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền nên nó bằng một nửa cạnh huyền.

Do đó 

$AM = \dfrac{1}{2} BC = 2,5$ (cm)

b) Xét tứ giác ADME có

$\widehat{MDA} = \widehat{DAE} = \widehat{AEM} + 90^{\circ}$

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật.

c) Ta có $ME \perp AC$, $AB \perp AC$ nên $ME // AB$.

Lại có M là trung điểm BC, do đó ME là đường trung bình của tam giác ABC, do đó E là trung điểm AC.

Do F đxung vs M qua E nên E là trung điểm ME. Lại có E là trung điểm AC nên E là tâm đxung của tứ giác AMCF, do đó tứ giác AMCF là hình bình hành.

Lại có $ME \perp AC$, do đó tứ giác AMCF là hình thoi.

d) Để tứ giác ADME là hình vuông thì AM phải là đường phân giác của $\widehat{BAC}$, do đó AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác, do đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy để tứ giác ADME là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.