Đáp án+Giải thích các bước giải:

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ ⇒ 2n+1 chia 4 dư 1 ⇒ 2n:4 ⇒ n:2 ⇒ n chẵn

⇒ n+1 là số chính phương lẻ ⇒ n + 1 : 8 dư 1⇒ n:8

 lại có (n+1)+(2n+1)=3n+2 chia 3 dư 2 mà 2n+1 và n+1 đều là số chính phương do đó cả hai số này đều chia 3 dư 1⇒ n:3

Vì ƯCLN(3,8)=1 nên ⇒ n chia hết cho 24 và n nhỏ nhất ⇒ n =24.

Vậy n=24.

Học tốt nhé !

Nhạn xét:

$n=3k+1(k\in N)$

$=>n+1=3k+2$ (Vô lí vì SCP ko có dạng như vậy)

$n=3k+2(k\in N)$ (Luôn chia hết cho $3$ dư $2$)

$=> 2n+1=2(3k+2)+1=6k+5$

$=>2n+1$ luôn chia hết cho $3$ dư $2$ (Hiển nhiên vô lí)

Do đó thì $n$ luôn chia hết cho $3$

Giả sử $n+1,2n+1,5n+1$ đều là các SCP

Nhận thấy $2n+1$ là số lẻ

$=>2n+1$ là SCP lẻ

$=>2n+1$ chia hết cho $8$ dư $1$

$=>2n+1≡1(mod 8)$

$=>2n+1-1\vdots 8$

$=>2n\vdots 8$

$=>n\vdots 4$

Nhận thấy $n+1$ là số lẻ

$=>n+1$ là SCP lẻ

$=>n+1$ chia $8$ dư $1$

$=>n+1≡1(mod 8)$

$=> n+1-1\vdots 8$

$=>n\vdots 8$

Vì $(3;8)=1$

$=>n\vdots (3.8)$

$=>n\vdots 24$ mà $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất và $n\vdots 4$

$=>n=24$

Với $n=24$ thì $n+1,2n+1,5n+1$ đều là các SCP

Vậy $n=24$