Giả sử đồng thời xảy ra trường hợp f(7)=73 và f(3)=58

Ta có: f(7)=a.7³+2b.7²+3.7.c+4d=343a+98b+21c+4d=73       

⇒ 343a+21c=73-4d-98b

Do a,b,c,d∈Z ⇒ Vế phải là 1 số lẻ

                     ⇒ 343a+21c là 1 số lẻ ⇒ Chỉ tồn tại 1 số chẵn

Thật vậy, ngược lại, nếu có 2 số chẵn(hoặc lẻ) thì 343a+21c chẵn, vô lý

Giả sử a chẵn ⇒ c lẻ

Lại có: f(3)=a.3³+2b.3²+3.3.c+4d=27a+18b+9c+4d=58           

⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (*)

Do a chẵn ⇒ 1971a chẵn

      b,d∈Z ⇒ 1314b; 292d chẵn

      c lẻ ⇒ 657c lẻ

Từ 3 điều trên ⇒ Vế trái của (*) là số lẻ

Mà 4234 chẵn ⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (vô lý)

Vậy điều giả sử ban đầu là sai hay ta có đpcm.

Giải thích các bước giải:

Giả sử tồn tại $f(7)=73, f(3)=58$

$\to \begin{cases}a\cdot 7^3+2b\cdot 7^2+3c\cdot 7+4d=73\\a\cdot 3^3+2b\cdot 3^2+3c\cdot 3+4d=58\end{cases}$

$\to \begin{cases}343a+98b+21c+4d=73\\27a+18b+9c+4d=58\end{cases}$

$\to (343a+98b+21c+4d)-(27a+18b+9c+4d)=73-58$

$\to 343a+98b+21c+4d-27a-18b-9c-4d=15$

$\to (343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=15$

$\to 316a+80b+12c=15$

Vì $a,b,c,d\in Z\to 316a+80b+12c$ chẵn

Do $15$ lẻ 

$\to 316a+80b+12c=15$ vô lý

$\to$Giả sử sai

$\to$Không thể đồng thời tồn tại $f(7)=73,f(3)=58$