1,

$a^7-a=a(a^6-1)=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$

Ta xét lần lượt:

Nếu $a=7m(m\in Z)$

$=> (a^7-a)\vdots 7$

Nếu $a=7m+1(m\in Z)$

$=>a-1=7m+1-1=7m\vdots 7$

$=>(a^7-a)\vdots 7$

Nếu $a=7m+2(m\in Z)$

$=>a^2+a+1=(7m+2)^2+7m+2+1=49m^2 + 28m +4+7m+3=49m^2+35m +7=7(7m^2 +5m+1)\vdots 7$

$=>(a^7-a)\vdots 7$

Cứ nâng dần lên như vậy thì $(a^7-a)\vdots 7$

Do đó $(a^7-a)\vdots 7$

2,

Ta chứng minh bổ đề sau:

Với $n\in N*$ ta luôn có:

$(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3(1)$

Với $n=1=>(1)$ đúng

giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in N^*)$

Tức: $(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3$
Ta chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$

Tức: $(1+2+...+k+k+1)^2=1^3+2^3+...+k^3$

Xét vế trái:

$=(1+2+...+k)^2+2(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^2$

$=1^3+2^3+...+k^3 + k(k+1)^2 +(k+1)^2$

$=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3$

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Vận dụng vào bài ta được:

$A=1^3+2^3+...+100^3=(1+2+...+100)^2\vdots (1+2+...+100)$

$=>A\vdots B$