Đáp án:

a) Vì ΔABC cân tại A (gt)

=> AB = AC (tính chất)

và ∠ABC = ∠ACB (tính chất)

Xét ΔABD và ΔACE có :

AB = AC (cmt)

∠A chung

AD = AE (gt)

Từ 3 điều này => ΔABD = ΔACE (c-g-c)

=> BD = CE ( 2 cạnh tương ứng )

b) Có : ∠ABC = ∠ACB (cmt)

Vì ΔABD = ΔACE (cmt) => ∠ABD = ∠ACE ( 2 góc tương ứng )

Từ 2 điều này => ∠ABC - ∠ABD = ∠ACD - ∠ACE (trừ dọc)

=> ∠GBC = ∠GCB

=> ΔGBC cân tại G 

=> BG = CG ( tính chất )

Mặt khác : BD = CE (cmt)

Từ 2 điều này => BD - BG = CE - CG => DG = EG (trừ dọc)

=>ΔGDE cân tại G

c) Xét ΔAEG và ΔADG có :

AE = AD (gt)

EG = DG (cmt)

AG là cạnh chung

Tù 3 điều này => ΔAEG = ΔADG (c-c-c)

=> ∠EAG = ∠DAG (2 góc tương ứng)

=> AG là tia phân giác của ∠EAD hay AG là tia phân giác của ∠ABC (1) 

Xét ΔABM và ΔACM có :

AB = AC (cmt)

BM = CM ( M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Từ 3 điều này => ΔABM = ΔACM (c-c-c)

=> ∠BAM = ∠CAM ( 2 góc tương ứng )

=> AM là tia phân giác của ∠ABC (2)

Từ (1) và (2) => A,M,G thẳng hàng

d) Vì ΔABM = ΔACM (cmt)

=> ∠AMB = ∠AMC ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° ( 2 góc kề bù )

Từ 2 điều này => ∠AMB + ∠AMB = 180°

=> 2.∠AMB = 180°

=> ∠AMB = 180° : 2 

=> ∠AMB = 90°

=> ΔAMB vuông tại M

Xét ΔAMB vuông tại M có AB = 13 cm ; MB = 5cm theo định lý Py-ta-go ta có :

AB² = AM² + BM²

=> 13² = AM² + 5²

=> 169 = AM² + 25

=> AM² = 169 - 25

=> AM² = 144

=> AM² = 12²

=> AM = 12 cm