Đáp án:

a) $\triangle BAH=\triangle ACK$

b) $BH=AK$

c) $\triangle HBM=\triangle KAM$

d) $\triangle MHK$ vuông cân tại M

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle BAH$ vuông tại H:

$\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\widehat{CAK}+\widehat{BAH}=90^o\,\,\,(=\widehat{BAC})$

$\to\widehat{ABH}=\widehat{CAK}$

Xét $\triangle BAH$ và $\triangle ACK$:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}\,\,\,(=90^o)$

$BA=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\widehat{ABH}=\widehat{CAK}$ (cmt)

$\to\triangle BAH=\triangle ACK$ (ch - gn)

b)

$\triangle BAH=\triangle ACK$ (cmt)

$\to BH=AK$ (2 cạnh tương ứng)

c)

$\triangle BHE$ vuông tại H:

$\widehat{HBE}+\widehat{HEB}=90^o$ (2 góc phụ nhau) (1)

$\triangle ABC$ vuông cân tại A có M là trung điểm của cạnh huyền BC

$\to$AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\to AM\bot BC, AM=BM=MC=\dfrac{1}{2}BC$

$\triangle AME$ vuông tại M:

$\widehat{MAE}+\widehat{MEA}=90^o$ (2 góc phụ nhau) (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{HBE}=\widehat{MAE}$

Xét $\triangle HBM$ và $\triangle KAM$:

$BH=AK$ (cmt)

$\widehat{HBM}=\widehat{KAM}$ (cmt)

$BM=AM$ (cmt)

$\to\triangle HBM=\triangle KAM$ (c.g.c)

d)

$\triangle HBM=\triangle KAM$ (cmt)

$\to MH=MK$ (2 cạnh tương ứng) (3)

$\triangle BAH=\triangle ACK$ (cmt)

$\to AH=CK$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle CKM$:

$MH=MK$ (cmt)

$AH=CK$ (cmt)

$AM=CM$ (cmt)

$\to\triangle AHM=\triangle CKM$ (c.c.c)

$\to\widehat{AMH}=\widehat{CMK}$ (2 góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{AMH}+\widehat{HME}=\widehat{AME}=90^o$

$\to\widehat{CMK}+\widehat{HME}=90^o=\widehat{HMK}$

$\to MH\bot MK$ (4)

Từ (3), (4) $\to\triangle MHK$ vuông cân tại M