Đáp án:

$19. \,C$

$20. \,B$

Giải thích các bước giải:

Bài 19:

Ta có: $SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABC))} = \widehat{SCH} = 60^o$

$\Rightarrow SH = CH\sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$CH^2 = AH^2 + AC^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow CH = 2a$

$\Rightarrow SH = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.SH = \dfrac{1}{6}.2a.a\sqrt{3}.2a\sqrt{3} = 2a^3$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4a^2 + 3a^2 = 7a^2$

$\Rightarrow BC = a\sqrt{7}$

$SB^2 = SH^2 + HB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$

$\Rightarrow SB = a\sqrt{13}$

$SC^2 = SH^2 + CH^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2$

$\Rightarrow SC = 4a$

$\Rightarrow p = \dfrac{SB+SC+SH}{2} = \dfrac{a}{2}(\sqrt{7} + \sqrt{13} + 8)$

$\Rightarrow S_{SBC} = \sqrt{p(p-SB)(p-SC)(p-BC)} = \dfrac{a^2\sqrt{87}}{2}$

$\Rightarrow V_{A.SBC} = \dfrac{1}{3}.S_{SBC}.d(A;(SBC)) = \dfrac{a^2\sqrt{87}}{6}.d(A;(SBC))$

Ta có:

$V_{S.ABC} = V_{A.SBC}$

$\Leftrightarrow 2a^3 = \dfrac{a^2\sqrt{87}}{6}.d(A;(SBC))$

$\Rightarrow d(A;(SBC)) = \dfrac{4a\sqrt{87}}{29}$

$\Rightarrow \text{Chọn đáp án C}$

Bài 20:

Ta có: $(SAB)\perp (ABCD)$

$(SAB)\cap (ABCD) = AB$

Kẻ $SH\perp AB$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Ta có: $∆SAB$ đều

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.SH = \dfrac{1}{2}AB.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}$

Theo đề ta có:

$S_{SAB} = 9\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$

$\Rightarrow AB = 6 \,cm$

$\Rightarrow SH = 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}AB^2.SH = \dfrac{1}{3}.6^2.3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, cm^3$

$\Rightarrow \text{Chọn đáp án B}$