Đáp án:

$a)$ Xét $ΔMBC$ (Góc $M = 90$ độ), có: 

$MN$ là đường trung tuyến ($BN=NC$)

$MN$ là cạnh huyền

$⇒$ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ấy. 

Hay: $MN = BC/2$ 

$⇔ MN = BN = NC$ 

Xét $ΔNMC,$ có: 

$MN = NC$ (chứng minh trên)

$⇒ ΔNMC$ cân tại $N$ ($2$ cạnh bên bằng nhau) $(1)$

$⇔$ Góc $NMC =$ góc $NCM$ ($2$ góc đáy tam giác cân)

$b)$ Xét tứ giác $ABCD,$ có: 

$AB⊥AD ($Vì $Ax⊥AD)$

$CD⊥AD ($Vì $Dy⊥AD)$

$⇒ AB//CD ($Từ $⊥→//)$

$⇔$ Tứ giác $ABCD$ là hình thang. 

Xét hình thang $ABCD$ có:

$N$ là trung điểm $BC$

$M$ là trung điểm $AD$ 

$⇒ MN$ là đường trung bình của hình thang

$⇔ MN//CD$ (Đường trung bình song song với cạnh đáy)

$⇒$ Góc $M1 =$ góc $C1$ (so le trong)  $(2)$

Vì $ΔNCM$ cân (Theo $1$)

$⇔$ Góc $M1 =$ góc $C2$ ($2$ góc đáy tam giác cân) $(3)$

Từ $(2)$ và $(3) ⇒$ Góc $C1 =$ góc $C2$ (cùng bằng góc $M1$)

Xét $ΔHCM$ (Góc $H = 90$ độ) và $ΔDCM$ (Góc $D = 90$ độ), có: 

Góc $H =$ góc $D$ (Cùng bằng $90$)

$CM:$ cạnh chung

Góc $C1 =$ góc $C2$ (chứng minh trên)

$⇔ ΔHCM=ΔDCM (g-c-g)$

$⇔ MH=MD$ ($2$ cạnh tương ứng)

BẠN THAM KHẢO NHA!!!