a)Xét ΔABM và ΔACN có:

      ∠AMB=∠ACN=90 độ (BM,CN là đường cao)(gt)
      ∠A chung

`->`ΔABM đồng dạng ΔACN (g.g)

b)Vì ΔABM đồng dạng ΔACN (cmt)

`->``(AB)/(AM)` `=` `(AC)/(AN)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

`->` `(AM)/(AB)` `=` `(AN)/(AC)`

Xét ΔAMN và ΔABC có:

      `(AM)/(AB)` `=` `(AN)/(AC)`(cmt)

      ∠A chung

`->`ΔAMN đồng dạng ΔABC(c.g.c)

c)Xét ΔABC có:

     BM,CN là  2 đường cao(gt)

mà BM∩CN={H}(gt)

`->`H là trực tâm ΔABC (định nghĩa)
`->`AH⊥BC (tính chất)

Gọi AH∩BC={I}

`->`AI⊥BC

Xét ΔBNH và ΔBMA có:

    ∠BNH=∠BMA=90 độ (CN,BM là đường cao)(gt)
    ∠ABM chung

`->`ΔBNH đồng dạng ΔBMA (g.g)

`->``(BH)/(BN)` `=` `(BA)/(BM)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

`->``(BM)/(BN)` `=` `(BH)/(BA)` 

`->`BH.BM=BN.BA(1)

Xét ΔBIH và ΔBMC có:

  ∠BIH=∠BMC=90 độ (AI⊥BC(cmt) và BM là đường cao(gt))

  ∠MBC chung

`->`ΔBIH đồng dạng ΔBMC (g.g)

`->``(BI)/(BH)` `=` `(BM)/(BC)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

`->``(BI)/(BM)` `=` `(BH)/(BC)`

`->`BI.BC=BH.BM(2)
Từ (1)(2)`->`BH.BM=BI.BC

 Xét ΔCMH và ΔCNA có:

      ∠CMH=∠CNA=90 độ (BM,CN là đường cao)(gt)

      ∠ABN chung

`->`ΔCMH đồng dạng ΔCNA (g.g)

`->``(CM)/(CH)` `=` `(CN)/(CA)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

`->``(CM)/(CN)` `=` `(CH)/(CA)` 

`->`CM.CA = CN.CH(3)

Xét ΔCHI và ΔCBN có:

    ∠CIH=∠CNB=90 độ ((AI⊥BC)(cmt) và CN là đường cao)(gt))

   ∠NCB  chung

`->`ΔCHI đồng dạng ΔCBN (g.g)

`->``(CH)/(CI)` `=` `(CN)/(CN)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

`->``(BI)/(BM)` `=` `(BH)/(BC)`

`->` CH.CN = CI. CB (4)

Từ (3)(4)`->`CM.CA = CI.CB

Ta có: BH.BM+CH.CN

=BI.BC+CI.CB

=BC(BI+IC)

=BC.BC

=BC² (đpcm)