Giải thích các bước giải:

a, M là điểm đối xứng với D qua AB ⇒ DM ⊥ AB

    N là điểm đối xứng với D qua AC ⇒ DN ⊥ AC

    Tứ giác AEDF có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{E}$, $\widehat{F}$) nên là hình chữ nhật

b, DE ⊥ AB , AB ⊥ AC ⇒ DE ║ AC

ΔABC có D là trung điểm của BC, DE ║ AC ⇒ E là trung điểm của AB

Tứ giác ADBM có 2 đường chéo AB, DM cắt nhau tại E là trung điểm mỗi đường

⇒ ADBM là hình bình hành mà AB ⊥ DM

⇒ ADBM là hình thoi

Chứng minh tương tự, ta có ADCN là hình thoi

c, ADBM là hình thoi ⇒ AM = AD và $\widehat{EAM}$ = $\widehat{EAD}$

   ADCN là hình thoi ⇒ AN = AD và $\widehat{FAD}$ = $\widehat{FAN}$

Suy ra: AM = AN

và $\widehat{MAN}$ = $\widehat{EAM}$ + $\widehat{EAD}$ + $\widehat{FAD}$ + $\widehat{FAN}$ = 2.$\widehat{BAC}$ = 2.$90^{o}$ = $180^{o}$

⇒ AM = AN và M, A, N thẳng hàng

⇒ M đối xứng với N qua A (đpcm)

d, Hình chữ nhật AEDF là hình vuông ⇔ AE = AF ⇔ AB = AC

⇔ ΔABC vuông cân ở A

e, AC = 10cm ⇒ DE = 5cm 

$S_{ADBM}$ = AB.DE = 12.5 = 60 $cm^{2}$

    AB = 12cm ⇒ DF = 6cm

$S_{AEDF}$ = AE.AF = 6.5 = 30 $cm^{2}$