a) Ta có:

$OB = OD$

$BI = DK$

$\Rightarrow OB - BI = OD - DK$

$\Rightarrow OI = OK$

Xét tứ giác $AICK$ có:

$OA = OC$

$OI = OK$

$\Rightarrow AICK$ là hình bình hành

b) Ta có:

$BI = IK = KD$

$\Rightarrow BI = \dfrac{1}{3}BD$

$OB= OD$

$\Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow \dfrac{BI}{OB} = \dfrac{2}{3}$
mà $BO$ là trung tuyến ứng với cạnh $AC$ $(OA= OC)$

nên $I$ là trọng tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow BM = MC$

Chứng minh tương tự, ta được:

$K$ là trọng tâm $ΔADC$

$\Rightarrow AN = ND$

Xét $ΔABC$ có:

$AO =OC$

$BM = MC$

$\Rightarrow MO$ là đường trung bình

$\Rightarrow MO//AB//CD$

Xét $ΔADC$ có:

$AO = OC$

$AN = ND$

$\Rightarrow NO$ là đường trung bình

$\Rightarrow NO//CD//AB$

Vậy $M,O,N$ thẳng hàng

c) Như đã chứng minh ở câu b

Ta có: $K$ là trọng tâm $ΔADC$

$\Rightarrow AK$ là trung tuyến ứng với cạnh $CD$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow DE = EC$

d) Gọi $F$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow F\in CI$ ($I$ là trọng tâm $ΔABC$)

Xét $ΔABC$ có:

$AO = OC$

$AF = FB$

$\Rightarro OF$ là đường trung bình

$\Rightarrow OF//BC//AD$

Xét $ΔADC$ có:

$AO = OC$

$CE = ED$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình

$\Rightarrow OE//AD//BC$

$\Rightarrow E,O,F$ thẳng hàng

hay $F\in EO$

Ta có:

$F\in AB$

$F\in CI$

$F\in EO$

Vậy $AB,EO,CI$ đồng quy tại $F$