Giải thích các bước giải:

a, Tứ giác ABHD có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{H}$) nên là hình chữ nhật

Mà lại có AD = AB (giả thiết)

⇒ ABHD là hình vuông (đpcm)

b, ABHD là hình vuông ⇒ AB = AD = DH = BH = CD : 2

Mà CD = CH + DH = 2.AB

⇒ CH = DH = AB = CD : 2

Tứ giác ABCH có AB ║ CH (cùng ⊥ BH) và AB = CH nên là hình bình hành

⇒ 2 đường chéo AC, BH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm của BH ⇒ M là trung điểm của AC

⇒ A đối xứng với C qua M (đpcm)

c, Gọi O = AH ∩ BD ⇒ OA = OH, OB = OD (vì ABHD là hình vuông)

Xét 2 tam giác vuông ΔMHD và ΔMHC có:

MH chung; MD = MC

⇒ ΔMHD = ΔMHC (c.g.c)

⇒ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MCH}$ hay $\widehat{QDH}$ = $\widehat{ACD}$

Lại có $\widehat{PDA}$ = $\widehat{ACD}$ (cùng phụ với $\widehat{CDI}$)

Suy ra: $\widehat{QDH}$  = $\widehat{PDA}$ 

ABHD là hình vuông ⇒ $\widehat{QHD}$  = $\widehat{PAD}$ 

Xét ΔPAD và ΔQHD có:

$\widehat{PAD}$ = $\widehat{QHD}$; AD = HD; $\widehat{PDA}$ = $\widehat{QDH}$

⇒ ΔPAD = ΔQHD (g.c.g)

⇒ DP = DQ, AP = HQ mà OA = OH 

⇒ OP = OQ, lại có OB = OD

⇒ DPBQ là hình bình hành mà có DP = DQ

⇒ DPBQ là hình thoi (đpcm)