Giải thích các bước giải: 

a, Tứ giác BHCK có M là giao của 2 đường chéo BC , HK và là trung điểm mỗi đường

    ⇒ Tứ giác BHCK là hình bình hành (đpcm)

b, Tứ giác BHCK là hình bình hành(câu a) ⇒ $\left \{ {{BH ║ CK } \atop {CH║BK}} \right.$ 

 mà BH ⊥ AC và CH ⊥ AB ⇒ $\left \{ {{CK ⊥ AC } \atop {BK ⊥ AB}} \right.$ (đpcm)

c, Gọi D là giao của BC và HI ⇒ BC ⊥ HI tại D và  D là trung điểm của HI 

Δ HIK có D là trung điểm của HI và M là trung điểm của HK 

  ⇒ DM là đường trung bình của Δ HIK ⇒ DM ║IK hay BC ║ IK

Δ BHI có BD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

⇒ ΔBHI cân tại B ⇒ BD cũng là phân giác của $\widehat{HBI}$ 

  ⇒  $\widehat{HBD}$ = $\widehat{IBD}$ mà $\widehat{HBD}$ = $\widehat{KCB}$ (vì BH║CK)

⇒ $\widehat{KCB}$ = $\widehat{IBD}$ mà BC ║ IK ⇒ Tứ giác BIKC là hình thang cân(đpcm)

d, Tứ giác GHCK có GK ║ CH ⇒ Tứ giác GHCK là hình thang 

Để tứ giác GHCK là hình thang cân thì $\widehat{GHC}$ = $\widehat{KCH}$

   mà $\widehat{KCH}$ = $\widehat{HBG}$(vì BHCK là hình bình hành)

Theo tính chất bắc cầu thì HG = HB ⇒ ΔHBG cân tại H ⇒ $\widehat{HGB}$ = $\widehat{HBG}$

ΔABG vuông tại B có: $\widehat{BAG}$ + $\widehat{HGB}$ =  $90^{o}$ 

mà ΔABD vuông tại D có: $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAG}$ =  $90^{o}$ 

  ⇒ $\widehat{HGB}$ = $\widehat{ABC}$ mặt khác $\widehat{HGB}$ = $\widehat{HBG}$

  ⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{HBG}$

⇒ $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HBC}$ = $\widehat{HBC}$ + $\widehat{CBG}$

⇒ $\widehat{ABH}$ = $\widehat{CBG}$

mà Δ ABE vuông tại E có: $\widehat{ABH}$ + $\widehat{BAE}$ =  $90^{o}$ 

                                        và $\widehat{ABC}$ + $\widehat{CBG}$ =  $90^{o}$ 

  ⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{BAE}$ ⇒ Δ ABC cân tại C

Vậy Δ ABC cân tại C thì tứ giác GHCK là hình thang cân