Giả sử √2 không phải là số vô tỉ ⇒ tồn tại các số nguyên a và b sao cho √2 = $\frac{a}{b}$ (b>0).

⇔ ƯCLN (a;b) = {1;-1}

Ta có: (√2)2 = ($\frac{a}{b}$)$^2$ hay $a^{2}$ = $2b^{2}$ (1)

⇒ a là số chẵn ⇒ ta có a = 2c (c ∈ Z)

Thay a = 2c vào (1) ta được: $(2c)^{2}$ = $2b^{2}$ hay $b^{2}$ = $(2c)^{2}$

⇒ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy √2 là số vô tỉ.

$\text{@Star}$

Lời giải:

Giả sử $\sqrt[]{2}$ là một số hữu tỉ và nó có thể viết dưới dạng $\sqrt[]{2}=$  `m/n` `[y ne 0 ,(m:n)=1]`

Suy ra: `m^2 = 2*n^2  (1)` . Do đó `m^2 vdots 2`, ta lại có `2` là số nguyên tố nên `m \vdots 2(2)`

Đặt `m=2*k ( n ∈ NN*)` Thay vào biểu thức `(1)`

`2*k^2 =  2*n^2` Nên `2*k ^2` luôn bằng `2*n^2`

`=> 2*n^2 \vdots 2 `

Do `(m:n)=1` nên `n^2 \vdots 2`  do đó `n \vdots 2` 

Từ `(2)` và `(3)=>` `m` và `n` cùng chia hết cho `2` trái với `(m:n)=1`

Như vậy $\sqrt[]{2}$ không là số hữu tỉ `=>` Vậy $\sqrt[]{2}$ phải là số vô tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm).

-----------------------------------------------------------------------------

Giả sử $\sqrt[]{8}$ là một số hữu tỉ và nó có thể viết dưới dạng $\sqrt[]{8}=$  `m/n` `[y ne 0 ,(m:n)=1]`

Suy ra: `m^2 = 8*n^2  (1)` . Do đó `m^2 vdots 2`, ta lại có `2` là số nguyên tố nên `m \vdots 2(2)`

Đặt `m=2*k ( n ∈ NN*)` Thay vào biểu thức `(1)`

`2*k^2 =  2*n^2` Nên `2*k ^2` luôn bằng `2*n^2`

`=> 2*n^2 \vdots 2 `

Do `(m:n)=1` nên `n^2 \vdots 2`  do đó `n \vdots 2` 

Từ `(2)` và `(3)=>` `m` và `n` cùng chia hết cho `2` trái với `(m:n)=1`

Như vậy $\sqrt[]{8}$ không là số hữu tỉ `=>` Vậy $\sqrt[]{8}$ phải là số vô tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm).