1. a) xét \(\Delta ABD\,\,\& \,\,\Delta HBD\) ta có :

\(\begin{array}{l}AD\,\,chung\,\,\\\angle {B_1} = \angle {B_2}\\AB = HB\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

1. b) Vì \(\Delta ABD = \Delta HBD\,\,\left( {cmt} \right)\) do đó :

\(\angle {D_1} = \angle {D_2}\) (góc tương ứng)

\( \Rightarrow BD\) là tia phân giác của góc \(\angle ADH\)

1. c)

Vì \(\Delta ABD = \Delta HBD\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle A = \angle H = {90^0}\) (góc tương ứng) và

\( \Rightarrow AD = HD\) (cạnh tương ứng)

Xét tam giác ADK và tam giác CDH có :

AD=HD (cmt)

\( \Rightarrow \angle A = \angle H = {90^0}\)

Góc ADK= góc CDH (đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta ADK = \Delta CDH\) (cạnh góc vuông, góc nhọn)

\( \Rightarrow DK = DC\)

1. d) \(\Delta ADK = \Delta CDH\)

\( \Rightarrow AK = HC\) (cạnh tương ứng)

Do đó:

\( \Rightarrow BK = BC\)

Kéo dài BD cắt CK tại I

Khi đó: Xét tam giác KBI và tam giác CBI ta có:

\(\begin{array}{l}\angle {B_1} = \angle {B_2}\left( {gt} \right)\\BK = BC\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow BI\,\,chung\)

Do đó hai tam giác \(\Delta KBI = \Delta CBI\)

Mà \(BK = BC\) nên tam giác BKC cân tại B.

\( \Rightarrow BD\) là tia phân giác góc B nên BD cũng là đường cao hạ từ đỉnh B

Do đó: \(BD \bot CK\) (đpcm)

Giải thích các bước giải:

a) (Bổ sung đề: `BA = BH`)

Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có:

       `BA=BH(g t)`

       `\hat{ABD}=\hat{HBD}(g t)`

       `BD:chung`

`⇒ ΔABD=ΔHBD(c.g.c)`

b) Ta có: `ΔABD = ΔHBD(cmt)`

`⇒ \hat{ADB}=\hat{HDB}` (2 góc tương ứng)

`⇒ BD` là tia phân giác `\hat{ADH}`

c) Ta có: `ΔABD = ΔHBD(cmt)`

`⇒ AD = HD` (2 cạnh tương ứng)

` \hat{BAD} = \hat{BHD}` (2 góc tương ứng)

`⇒ \hat{DAK} = \hat{DHC}` (lần lượt kề bù với `\hat{BAD}` và `\hat{BHD}`)

Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có:

       `\hat{DAK}=\hat{DHC}(cmt)`

        `AD = HD(cmt)`

        `\hat{ADK}=\hat{HDC}` (2 góc đối đỉnh)

`⇒ ΔADK = ΔHDC (g.c.g)`

`⇒ DK = DC` (2 cạnh tương ứng)

d) Gọi `BD ∩ CK = {O}`

Ta có: `ΔADK = ΔHDC(cmt)`

`⇒ AK = HC` (2 cạnh tướng ứng)

Lại có: `BA = BH (g t)`

`⇒ BA + AK = BH + HC`

`⇒ BK = BC`

Xét`ΔBOK` và `BOC` có:

      `BK = BC(cmt)`

       `\hat{KBO}=\hat{CBO}(g t)`

       `BO:chung`

`⇒ ΔBOK = ΔBOC (c.g.c)`

`⇒ \hat{BOK}=\hat{BOC}` (2 góc tương ứng)

mà: `\hat{BOK}+\hat{BOC}=180^o` (2 góc kề bù)

`⇒ \hat{BOK} = \hat{BOC}=90^o`

`⇒ BO ⊥ CK` hay `BD ⊥ CK`