$\\$

$a,$

$D$ đối xứng $M$ qua $N$ (gt)

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $MD$

Tứ giác $AMCD$ có :

$N$ là trung điểm của $AC,MD$ (gt, cmt)

$\Rightarrow AMCD$ là hình bình hành

Mà $\widehat{AMC}=90^o(AM\bot BC)$

$\Rightarrow AMCD$ là hình chữ nhật

$b,$

$\triangle ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường cao (gt)

$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến hay $M$ là trung điểm của $BC$

$AMCD$ là hình chữ nhật (cmt)

$\Rightarrow AD=CM, AD//CM$ (2 cạnh đối)

$AD=CM ,BM=CM$ (cmt)

$\Rightarrow  AD=BM$

Tứ giác $ABMD$ có :

$AD//BM(AD///MC), AD=BM$ (cmt)

$\Rightarrow ABMD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM$ cắt $BD$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $O$ là trung điểm của $AM$ (gt)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $BD$

Hay $BD$ đi qua trung điểm $O$ của $AM$

$c,$

$AMCD$ là hình chữ nhật (cmt) và $N$ là giao của $AC,MD$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AC,MD$

$\triangle AMD$ có :

$DO,AN$ là đường trung tuyến (cmt)

$I$ là giao của $DO,AN$

$\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\triangle AMD$

$\Rightarrow DI=\dfrac{2}{3}DO$

$\Rightarrow DI=\dfrac{2}{3}OB$

Chữ hơi xấu bạn thông cảm