Đề bài thiếu dữ liệu chiều cao $SA$ của hình chóp

Ta có:

$ABCD$ là hình thoi

$\to AB = BC = CA = DA = a$

Ta lại có:

$\widehat{ABC} =60^\circ$

$\to ΔABC$ đều

$\to AB = BC = CA = DA = AC = a$

a) Gọi $\{O\} = AC \cap BD$

$\to OA = OC = \dfrac12AC =\dfrac{a}{2}$

Ta có:

$BD\perp AO\quad (BD\perp AC)$

$BD\perp SA\quad (SA\perp (ABCD))$

$\to BD\perp (SAO)$

Trong $mp(SAO)$ kẻ $AH\perp SO$

mà $BD\perp (SAO)\quad (cmt)$

nên $BD\perp AH$

Do $\begin{cases}AH\perp SO\quad \text{(cách dựng)}\\SO\subset (SBD)\\AH\perp BD\quad (cmt)\\BD\subset (SBD)\end{cases}$

nên $AH\perp (SBD)$

$\to AH = d(A;(SBD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSAO$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{OA^2}$

$\to AH = \dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2 + OA^2}}$

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\to AM\perp BC\quad (ΔABC$ đều$)$

$\to AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Lại có: $BC\perp SA \quad (SA\perp (ABCD))$

$\to BC\perp (SAM)$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $AK\perp SM$

Do $BC\perp (SAM)$

nên $BC\perp AK$

$\to AK\perp (SBC)$

$\to AK = d(A;(SNC))$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSAM$ vuông tại $A$ đường cao $AM$ ta được:

$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\to AK = \dfrac{SA.AK}{\sqrt{SA^2 + AM^2}}$

c) Gọi $N$ là trung điểm của $AD$

$\to CN\perp AD\quad (ΔCAD$ đều$)$

$\to CN = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta có:

$CN\perp AD$

$CN\perp SA \quad (SA\perp (ABCD))$

$\to CN\perp (SAD)$

$\to CN = d(C;(SAD)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

d) Ta có: $AB//CD$

mà $CD\subset (SCD)$

nên $AB//(SCD)$

$\to d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))$

Gọi $P$ là trung điểm $CD$

$\to AP\perp CD\quad (ΔCAD$ đều$)$

$\to AP = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta có:

$CD\perp AP$

$CD\perp SA\quad (SA\perp (ABCD))$

$\to CD\perp (SAP)$

Trong $mp(SAP)$ kẻ $AI\perp SP$

Do $CD\perp (SAP)$

nên $CD\perp AI$

Do $\begin{cases}AI\perp SP\quad \text{(cách dựng)}\\SP\subset (SCD)\\AI\perp CD\quad (cmt)\\CD\subset (SCD)\end{cases}$

nên $AI\perp (SCD)$

$\to AI = d(A;(SCD)) = d(B;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSAP$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:

$\dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AP^2}$

$\to AI = \dfrac{SA.AP}{\sqrt{SA^2 + AP^2}}$