Giải thích các bước giải:

a. Vì D,E,F là trung điểm BA,BC,CA

$\rightarrow$ DE,EF,FD là đường trung bình $\Delta ABC$

$\rightarrow \Diamond DECF$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ đều $\rightarrow AB=BC=CA\rightarrow DE=EC=CF=FD$

$\rightarrow \Diamond DECF$ là hình thoi

b.Do $E$ là trung điểm $DM, AC$

$\rightarrow \Diamond ADCM$ là hình bình hành

Mà $AE=EC=DE=EM\rightarrow \Diamond ADCM$ là hinh chữ nhật

c.Ta chứng minh được $\Delta MDN$ đều, F là trung điểm DN

$\rightarrow MF\perp DN\rightarrow \Delta FMN$ vuông tại F

d.Vì $BE\cap DF=P\rightarrow PF=PD=\dfrac{1}{2}DF$

$CE\cap MF=Q\rightarrow EQ=QC=\dfrac{1}{2}{EC}$

$\rightarrow PF=EQ$

mà $PF//EQ(DF//AC)\rightarrow \Diamond PEQF$ là hình bình hành

$\rightarrow PQ\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $\Diamond DECF$ là hình bình hành

$\rightarrow DC\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

$\rightarrow PQ,EF,DC$ tại trung điểm mỗi đường