Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\Delta ABC$, ta có:

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến)

K là trung điểm của AB (gt)

$\Rightarrow MK$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MK =\frac{1}{2} AC$

 Xét $\Delta ABC$, ta có:

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến)

I là trung điểm của AC (gt)

$\Rightarrow MI$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MI =\frac{1}{2} AB$

Ta có:

$\begin{cases} MK = \frac{1}{2} AC (cmt)\\MI = \frac{1}{2} AB (cmt)\\AI = \frac{1}{2} AC \text {(I là trung điểm của AC)} \\AK = \frac{1}{2} AB \text{(K là trung điểm của AB)}\\AB = AC \end{cases}$

$\Rightarrow MI = MK = AK = AI$
Xét tứ giác AKMI, ta có: $MI = MK = AK = AI (cmt)$
$\Rightarrow AKMI$ là hình thoi

b) Xét tứ giác AMCN, ta có:

$I$ là trung điểm của AC (gt)

$I$ là trung điểm của MN (N đối xứng với M qua I)

$AC$ cắt $MN$ tại $I$

$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành

Ta có:

AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ cân tại A

$\Rightarrow$ AM là đường cao của $\Delta ABC$

$\Rightarrow \widehat {AMC} = 90^o$

Xét hình bình hành AMCN, ta có: $\widehat {AMC} = 90^o$

$\Rightarrow AMCN$ là hình chữ nhật

Xét $\Delta ABC$, ta có:

$K$ là trung điểm của $AB (gt)$

$I$ là trung điểm của $AC (gt)$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow IK // BC, IK = \frac{1}{2} BC$

Mà $MC = \frac{1}{2} BC$

$\Rightarrow IK = MC$

Xét tứ giác MKIC, ta có:

$IK // MC (IK // BC, M \in BC)$

$IK = MC (cmt)$

$\Rightarrow MKIC$ là hình bình hành

c) Ta có:

$MI // AB$ (MI là đường trung bình của $\Delta ABC$)

$\Rightarrow MN // AB (I \in MN)$

$\widehat {BAM} = \widehat {NMA}$ (2 góc so le trong)
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta MNE$, ta có

$\widehat {BAE} = \widehat {NME} (\widehat {BAM} = \widehat {NMA}, E \in AM)$

$MN = AB (MN = AC$ do $AMCN$ là hình chữ nhật, $AB = AC$)

$AE = ME$ (E là trung điểm của AM)

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta MNE$ (c - g - c)

$\Rightarrow EB = EN$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow E$ là trung điểm của BN

d) Ta có: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông

$\Rightarrow$ Để AMCN là hình vuông thì $AM = MC$

Mà $AM$ là đường trung tuyến ứng với BC của $\Delta ABC, MC = \frac{1}{2} BC$

$\Rightarrow$ Để AMCN là hình vuông thì $\Delta ABC$ vuông tại $A$, lúc đấy $AM = MC$ theo tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác, từ đó suy ra $AMCN$ là hình vuông theo tính chất hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau