Đáp án:

$A.\ m^2 - n^2 = 10$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng kiến thức lớp `9`:

Diện tích $S$ bằng hiệu của hình quạt và tam giác như hình vẽ

Diện tích tam giác vuông cân cạnh bằng `1`

$S_1 = \dfrac12\cdot 1^2 = \dfrac12$

Diện tích hình quạt bằng một phần tư diện tích hình tròn cùng bán kính bằng `1`

$S_2 = \dfrac14\pi 1^2 = \dfrac{\pi}{4}$

Diện tích hình viên phân:

$S = S_2 - S_1 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac12 = \dfrac{1}{4}\left(\pi - 2\right)$

Ta được:

$\begin{cases}m = 4\\n = 2\end{cases}\Rightarrow m^2 - n^2 = 10$

__________________________________________________________________________

Ứng dụng tích phân:

$S = \displaystyle\int\limits_0^1\left[\sqrt{1 - x^2} - (1-x)\right]dx$

$\to S = \dfrac12\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right)\Bigg|_0^1 - x\Bigg|_0^1 + \dfrac{x^2}{2}\Bigg|_0^1$

$\to S = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac12 = \dfrac{1}{4}\left(\pi - 2\right)$

Ta được:

$\begin{cases}m = 4\\n = 2\end{cases}\Rightarrow m^2 - n^2 = 10$

_________________________________________________________________________

Nhận xét:

Ứng dụng tích phân rất hữu hiệu trong việc tích toán diện tích, thể tích từ những đồ thị phức tạp. Tuy nhiên, tích phân đôi khi cũng phức tạp hóa những bài toán đơn giản, đưa đến cách giải dài, mất thời gian.