a,

E và D lần lượt nằm trên đường tròn đường kính BC nên:

\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD \bot DC\\
BE \bot EC
\end{array} \right.\)

Suy ra BD và CE là 2 đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC

Mà H là giao điểm của BD và CE nên H là trực tâm tam giác ABC

Do đó, \(AH \bot BC\)

b,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
AH \bot BC \Rightarrow HF \bot BC\\
 \Rightarrow \widehat {BHF} = 90^\circ  - \widehat {HBF} = \widehat {DCB}
\end{array}\)

$\widehat{HFB}=\widehat{CFA}$

Suy ra ΔHBF\( \sim \)ΔCAF (g.g)

Suy ra \(\dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{BF}}{{AF}} \Rightarrow HF.AF = FB.FC\)

c,

Tứ giác $AEHD$ có: $\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$

$K$ là trung điểm của $AH$ nên $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHD$

$\Rightarrow\widehat{EKD}=2\widehat{EAD}$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp)

Lại có $\widehat{EOD}=2\widehat{ECD}$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp)

Tứ giác $OEKD$ có:

$\widehat{EKD}+\widehat{EOD}=2\widehat{EAD}+2\widehat{ECD}$

$=2(\widehat{EAD}+\widehat{ECD})$ $(\text{mà }\Delta AEC\bot E)$

$=2.90^o=180^o$

$\Rightarrow O,E,K,D$ cùng thuộc một đường tròn.