$\\$

giả sử $ABCD$ là hình chữ nhật và $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AD,AB,BC,CD$

$ABCD$ là hình chữ nhật (giả sử)

$\Rightarrow AB//CD, AB=CD, AD//BC, AD=BC,\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o$

$AM=MD=\dfrac{AD}{2}, BP=CP=\dfrac{BC}{2}$

Mà $AD=BC$ (cmt)

$\Rightarrow AM=DM=BP=CP$

$AN=BN=\dfrac{AB}{2}, DQ=CQ=\dfrac{CD}{2}$

Mà $AB=CD$ (cmt)

$\Rightarrow AN=BN=DQ=CQ$

$\triangle DMQ$ và $\triangle CPQ$ có :

$DQ=CQ$ (cmt)

$DM=CP$ (cmt)

$\widehat{D}=\widehat{C}=90^o$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DMQ=\triangle CPQ$ (c.g.c)

$\Rightarrow MQ=PQ$ (2 cạnh tương ứng) $(1)$

$\triangle DMQ$ và $\triangle AMN$ có :

$AM=DM$ (cmt)

$AN=DQ$ (cmt)

$\widehat{A}=\widehat{D}=90^o$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DMQ=\triangle AMN$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=MQ$ (2 cạnh tương ứng) $(2)$

$\triangle AMN$ và $\triangle BPN$ có :

$AM=BP$ (cmt)

$AN=BN$ (cmt)

$\widehat{A}=\widehat{B}=90^o$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMN=\triangle BPN$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=NP$ (2 cạnh tương ứng) $(3)$

$\triangle BPN$ và $\triangle CPQ$ có :

$BP=CP$ (cmt)

$BN=CQ$ (cmt)

$\widehat{B}=\widehat{C}=90^o$

$\Rightarrow \triangle BPN=\triangle CPQ$ (c.g.c)

$\Rightarrow NP=PQ$ (2 cạnh tương ứng) $(4)$

$(1)(2)(3)(4)\Rightarrow MN=NP=PQ=MQ$

Tứ giác $MNPQ$ có :

$MN=NP=PQ=MQ$ (cmt)

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Giả sử hình chữ nhật `ABCD` có hai đường chéo `AC,BD` và `E,F,G,H` lần lượt là trung điểm của các cạnh `AB,BC,CD,AD`

Xét `\triangleABD` có:

`E,H` lần lượt là trung điểm của `AB,AD`

`=>EH` là đường trung bình của `\triangleABD`

`=>EH=1/2BD` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(1)`

Xét `\triangleBCD` có:

`F,G` lần lượt là trung điểm của `BC,CD`

`=>FG` là đường trung bình của `\triangleBCD`

`=>FG=1/2BD` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` t suy được: `EH=FG` `(=1/2BD)` `(a)`

Xét `\triangleABC` có:

`E,F` lần lượt là trung điểm của `AB,BC`

`=>EF` là đường trung bình của `\triangleABC`

`=>EF=1/2AC` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(3)`

Xét `\triangleADC` có:

`G,H` lần lượt là trung điểm của `CD,AD`

`=>GH` là đường trung bình của `\triangleADC`

`=>GH=1/2AC` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `EF=GH` `(=1/2AC)` `(b)`

`ABCD` là hình chữ nhật nên:

`=>AC=BD` `(`tính chất hình chữ nhật`)` `(c)`

Từ `(a),(b)` và `(c)` ta suy được: `EF=FG=GH=HE`

`=>EFGH` là hình thoi `(`dấu hiệu nhận biết hình thoi`)`

Vậy trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi `(đpcm)`