1.

xét tam giác ABC có góc A=90 độ , theo định lí pi-ta-go ta có :

       AB^2+AC^2=BC^2 

hay 5^2+10^2   =BC^2

       25+100        =BC^2

       BC^2=125   

=>BC=√125

ta lại có AM là đường trung tuyến mà Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên

=>AM=1/2.√125=√125/2

 2.

Xét t/g ABD có: AM=BM (gt), AQ=DQ (gt)

=>MQ là đường trung bình của tam giác ABD

=>MQ // BD và MQ = 1/2BD (1)

CM tương tự với t/g CBD ta có: NP // BD và NP = 1/2BD (2)

Từ (1) và (2) => MQ // NP và MQ = NP 

=> MNPQ là hình bình hành (3)

Xét t/g ABC ta có: AM=BM (gt), BN = CN (gt)

=> MN là đg trung bình của t/g ABC

=> MN // AC

Mà AC _|_ BD (gt)

=> MN _|_ BD

Mà NP // BD (cmt)

=> MN _|_ NP (4)

Từ (3) và (4) =>  MNPQ là hình chữ nhật

3. 

ta có am là đường cao của tam giác abc=>amb=90 độ (1)

xét tam giác ane và tam giác mnb có:

an=nb(vì n là trung điểm của ab)

en=mn(e và m đối xứng với nhau qua n)

góc ane=góc bnm (đ.đ)

=>tam giác ane=tam giác mnb(c.g.c)

=>ae=mb(T.ư)(2)

=>góc mbn=góc ean (t.ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong=>ae//mb (dhnb)(3)

từ (2) và(3) =>aebm là hình bình hành (dhnb)(4)

từ (1) và (4)=>aebm là hình chữ nhật (dhnb)(dpcm)